\(2\le n\le8\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(x^n=n-5\)의 실근의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{8}f(n)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

자연수 \(a, b\)가 \(\log_2a+\log_2b=4\)를 만족시킬 때, 순서쌍 \((a, b)\)의 개수와 그중 \(a\ne1\)이고 \(\log_ab\)가 정수인 순서쌍의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(\sin^2x-2a\sin x+2a+3\gt0\)이 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하는 과정을 논술하시오.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle A=\dfrac{\pi}{3}\), \(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}=10\)일 때, 넓이의 최댓값과 그때의 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하는 과정을 논술하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3n\)을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값과 \(a_n\gt100\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 논술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-x^3}{x^2}=2,\ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=-3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(f(x)=x^3+ax^2+3x+1\)이 극값을 갖지 않도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

방정식 \(x^3-3x^2-9x-k=0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수와, 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 값을 모두 구하는 과정을 논술하시오.

정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-2x+1)\,dx\)의 값을 구하고, \(\displaystyle\int_{-a}^{a}(x^5+x^2)\,dx=18\)을 만족시키는 양수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

곡선 \(y=x^3\)과 직선 \(y=4x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.